martes, 18 de septiembre de 2012


Introducción

Ø ¿Qué es una función?

Una función es una relación que se establece entre un conjunto llamado dominio y un conjunto llamado codominio. 

¿A qué hace referencia dicha relación?

Hace referencia a la correspondencia entre dos conjuntos: a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.


Ø ¿Cómo se representan las funciones?

Existen diversas formas por las cuales se pueden representar las funciones, como por ejemplo, a través del diagrama de Venn.




Sin embargo, la forma más eficiente para lograr el completo análisis de las funciones es a través de gráficas, con el conocimiento de su expresión analítica.  


















Ø ¿Cuándo se considera una función?

Como se aclaró en la definición, una función se establece cuando a un elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.

Es decir que si a un elemento del dominio le corresponden dos elementos del codominio, no se considera una función.

Sin embargo, a un elemento del codominio le pueden corresponder varios elementos del dominio.


Explica los siguientes casos


















Ejemplo:

1. En el siguiente diagrama de Venn se muestra la correspondencia de madres biológicas a sus respectivos hijos. 














2. Luego de una competencia deportiva se analizó el recorrido de la pelota en la práctica de lanzamiento. 

Se obtuvo la siguiente gráfica: distancia en función del tiempo.








  









La pelota  parte del punto de referencia d=0 y comienza a subir.



La pelota alcanza su punto máximo de altura.




La pelota comienza a descender hasta alcanzar el suelo d=0


Conclusión: 

Si analizamos este recorrido, se puede concluir como a un mismo elemento del codominio, le corresponden dos elementos del dominio. En este caso, a una misma distancia en relación al punto inicial, le corresponden dos valores de tiempo. 

lunes, 17 de septiembre de 2012

Desarrollo

Ø ¿Qué es una expresión analítica?


La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona la variable dependiente con la variable independiente. 




Ø ¿A qué hace referencia el  término imagen y el término pre-imagen?

 Se llaman pre imágenes a los elementos del dominio.
Se llaman imágenes a los elementos del codominio que están relacionados a una preimagen.


Ø ¿A que hace referencia la variable dependiente?

Hace referencia a la variable cuyos valores dependen de los valores que se tomen en la otra variable. 

 Se representan en el eje Y.

Ø ¿A que hace referencia la variable independiente?

Hace referencia a la variable cuyos valores no dependen de ningún otro ya que se asignan libremente. 

Se representan en el eje X. 

Ejemplo: 

En un supermercado se establecen los precios de las papas de acuerdo a la cantidad de kilogramos que se compren.

La variable dependiente, es el precio ya que el mismo varía según la cantidad de kilogramos que se compren. Por esta razón, la cantidad de papas representan a la variable independiente, ya que en esta situación no depende de la otra variable.

Ejercicio:

Una señora decide averiguar cuál es el criterio que se sigue para pagar un salario a una empleada de un comercio de ropa.

La misma descubre que de acuerdo a la cantidad de prendas que cada persona venda por día, se le agregarán créditos a su salario fijo.

Créditos:







Indica cuál es la variable independiente y cual es la variable dependiente. Justifica tu elección.

¡A comprobar los resultados!


Respuesta:

La variable dependiente hace referencia a los créditos. Esto se debe a que las vendedoras reciben determinada cantidad de créditos de acuerdo a la cantidad de prendas que hayan vendido en el día. La cantidad de prendas, cumple el rol de la variable independiente ya que el precio se ajustan a dicha cantidad y no se lo contrario. 




Ø Puntos de corte

En un plano cartesiano, la grafica, de acuerdo a su expresión analítica, puede cortar o interceptar en los ejes coordenados (ox, oy). 

-Raíz:

La raíz es el punto de corte de la gráfica en el eje horizontal. En otras palabras, es el elemento del dominio cuya imagen es 0.


Ecuación: f(x)=0

¿Cuáles son los valores de x para que f(x) =  0?

Ejemplo:
























Raíz de la función: f(x)= 4x - 4

4x - 4 = 0 
4x=4
4x/4 = 4/4

X= 1

Es decir que f(1) = 0

Verificación:

4.1 – 4=0
4-4=0
0=0

-Ordenada en el origen

La ordenada en el origen es el punto de corte de la gráfica en el eje vertical. En otras palabras, es la imagen de f (0).

Ecuación: f(0)

¿Cuál es el valor de f(x) cuando x=0?


Ejemplo:


Ordenada en el origen de la función: f(x)=-(2x-1)^2 + 5

 -(2.0-1)^2 + 5= -(1) + 5= -1+ 5 = 4



  Ejercicio:

Grafica las siguientes funciones utilizando raíz y ordenada en el origen en caso que tengan.

1.    F(x)= 2x 2
2.    F(x)= 6x-9
3.    F(x)= -(x-5)2 + 7
4.    F(x)= 2x + 1/3


Ø  ¿Qué es el recorrido de una función?

Es el conjunto formado por elementos del codominio que son imagen de algún elemento del dominio.  Es decir, todos los valores que va a tomar la función, para cualquier valor de X. 












viernes, 14 de septiembre de 2012

Funciones Cuadráticas 

Ø ¿Qué es una función cuadrática?

Las funciones cuadráticas son aquellas funciones cuya expresión analítica sea la siguiente: F(x) = ax2 + bx +c
Siendo a, b, c números reales,  y a diferente a 0.


Ø ¿Qué es una parábola?

Es la representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática. 

Ø  Vértice y eje de simetría

Las parábolas son simétricas respecto a una recta vertical llamada eje de simetría.

 El punto en el que el eje corta la parábola se llama vértice. Este punto, dependiendo de la función, coincide con el máximo o el mínimo de la misma.

Ø  Análisis de la expresión analítica

Cuando el coeficiente principal tiene valor positivo,la parábola tiene concavidad positiva.















Cuando el coeficiente principal tiene valor negativo,la parábola tiene concavidad negativa.


















Cuanto más grande sea el coeficiente principal  positivo, la parábola se acerca más a eje Y. 






















De la mismas manera,cuanto más chico sea el valor del coeficiente principal positivo, la parábola se acerca más al eje X.























Teniendo en cuenta la siguiente expresión analítica se pueden sacar ciertas conclusiones:


f(x) =(x-h)^2

Si h es negativo, la gráfica se trasladara hacia la derecha. La misma se desplazará h unidades, desde el origen de los ejes, siendo -x el valor del coeficiente. 




Si h es positivo,  la gráfica se  trasladara hacia la izquierda. La misma se desplazará -h 
unidades, desde el origen de los ejes, siendo x el valor del coeficiente.











  


   Máximo y mínimo

            -La abscisa  del mínimo, coincidirá con la raíz de la función.  
      
           -La ordenada del mínimo será siempre el opuesto a h, por lo tanto, la raíz también. 
      
          - Cuando la función tiene concavidad positiva, no tiene máximo.

          - Cuando la función tiene concavidad negativa, no tiene mínimo 






               

       









        Considerando la siguiente expresión analítica se pueden obtener ciertas conclusiones:

f(x) =(x-h)^2 + k
     
              - La coordenada x del vértice, coincidirá  h, mientras que la coordenada y del vértice será igual a k. 

             -El valor de k indicará cuántas unidades se desplazará la función sobre el eje y

                              - Si k es mayor a 0, la función no tendrá raíz/ raíces. 

                             -Si k=0, la función tiene una sola raíz (raíz doble)

                      


  
   












 


     Ø  Ejercicio
       Para evaluar la necesidad de semáforos en un cruce de calles se colocó un contador de autos.
    
      Los resultados del estudio pueden expresarse con la siguiente función cuadrática:
     
F (x) = - (x-6) ^2+16

      Siendo x las horas del día y f(x) la cantidad de autos:

1.   ¿A alguna hora no pasa ningún auto? ¿A qué concepto matemático trabajado corresponde? Justifica tu respuesta.

2.   ¿A qué hora pasa la máxima cantidad de autos? ¿A qué concepto matemático trabajo corresponde? Justifica tu respuesta.

3.   ¿Cuántos autos pasan a la hora cero? Matemáticamente esto significaría hallar la ordenada en el origen. Esta función solo tiene sentido entre los valores entre las raíces

4.   ¿Para qué valores de x esta función tiene sentido? Ten en cuenta el concepto de dominio.

5.   ¿Entre qué valores varía la cantidad de autos que pasan por este cruce? Ten en cuenta el concepto de recorrido.

6.   Grafica  y pinta la parte de la gráfica con sentido práctico.



 ¡A VERIFICAR!

1.

-(x-6)^2 + 16= 0

-(x-6)^2 =-16

x-6 =√16

√16= 4; -4

x-6= 4

x=10

x-6= -4

x= 2

El concepto matemático hace referencia a la raíz ya que se debe igualar la función a 0. F(x) representa la cantidad de autos. El problema pide ver a qué horas no pasa ningún auto, es decir 0 autos.

2.

V (6; 16)

La máxima cantidad de autos es 16, ya que el eje y representa la cantidad de autos, la máxima cantidad de autos pasa a las 6hs ya que el eje x representa las horas del día. Las coordenadas del vértice indican la cantidad máxima de autos (eje y) y a qué hora pasan (eje x), de modo que la función tenga sentido, es decir entre los valores que son raíces (10, 2)

3.

F(0) = -(0-6)^2 + 16 = - 20

o.o = -20

Sustituimos la x por cero ya que el eje x representa la cantidad de horas y el problema pide cuántos autos pasan a la hora cero, entonces averiguamos que número le corresponde en el eje y, en el eje x.

4.

Esta función tiene sentido para los valores que están entre las raíces, para los demás valores los correspondientes son negativos y no tiene sentido que a una determinada hora pase una cantidad negativa de autos

5.

R(f) = [0, 16]

6.


Ø Ejercicio

Una señora abrió un local hace pocos meses, quiere saber cómo va el negocio y para eso necesita averiguar algunos aspectos. Para averiguar dichos aspectos realizó un estudio, los resultados de ese estudio se pueden expresar con la siguiente función cuadrática:

F(x)= -(x-14) ^2 + 36

Representando el eje Y, la cantidad de gente y el eje X el tiempo, averigua lo siguiente:

1.   ¿En algún momento no hay nadie en el local? De esta forma la señora podrá hacer alguna promoción para atraer más gente en ese horario. Matemáticamente esto significaría hallar las raíces.

2.   ¿Cuánta gente hay en el local a la hora cero? Como la señora no siempre puede estar en el local en este horario, quiere saber si hay muchos clientes en este momento. Matemáticamente esto sería hallar la ordenada en el origen.

3.   ¿En qué momento está la cantidad máxima de clientes? A la señora le interesa saber cuándo hay más cantidad de clientes. Matemáticamente esto sería hallar las coordenadas del vértice de la parábola.

4.   Grafica ubicando todo lo requerido y hallado anteriormente.

5.   En caso de que el horario de atención fuera de 8.00 a 20.00 hs. ¿Cuál de los aspectos estudiados anteriormente no tendría sentido? ¿Por qué?


¡A VERIFICAR!

1.
-(x-14) ^2 + 36 = 0
- (x-14) ^2 = -36
(x-14) = √36
√36 = 6; -6

x- 14= 6
x= 14 + 6
x = 20

x-14 = -6
x = -6 + 14
x = 8
2.

F (0) = -(0 – 14) ^2 + 36 = -160

3.
V (14; 36)

4.

5.

La ordenada en el origen no tendría sentido ya que a la hora cero el local no está abierto, tampoco tendría sentido decir que a una hora hay -160 personas, el número de personas siempre debe ser positivo.



Ø  Ejercicio

¿Qué datos obtienes de las siguientes funciones a través de sus expresiones analíticas? sin graficar.

o   f(x) =(2x-3)^2 + 10

o   f(x) =(5x+ 7)^2

o   -f(x)= (4x)^2 + 3/2

o   f(x) =(2x-√5)^2 + 3

o   f(x) =(2x-5)^2 + √3


Ø  Ejercicio


Se realizó un estudio con el fin de averiguar si era productivo colocar un panel solar en una determinada ubicación, durante la época de verano.  Para ello se decidió tomar la temperatura durante todas las horas del día.

La relación que se establece entre la hora del día y la temperatura es la siguiente:

t(x)= -3/4 (x-12) ^2


Donde t es la temperatura en grados Celsius y x es la hora del día.


1.   ¿Qué variación de temperatura se encontraba entre las 8 y las 10 de la mañana

2.   ¿Cuándo la temperatura fue de 0 grados Celsius?

3.   ¿Cuál fue la temperatura al finalizar el día?

4.   Determina cuál fue la temperatura máxima y en qué momento del día se obtuvo dicha temperatura.

5.   ¿A qué concepto estudiado hacen referencia las dos últimas preguntas? Explica.