Funciones Cuadráticas 

Ø ¿Qué es una función cuadrática?

Las funciones cuadráticas son aquellas funciones cuya expresión analítica sea la siguiente: F(x) = ax² + bx +c

Siendo a, b, c números reales,  y a diferente a 0.

Ø ¿Qué es una parábola?

Es la representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática. 

Ø  Vértice y eje de simetría

Las parábolas son simétricas respecto a una recta vertical llamada eje de simetría.

 El punto en el que el eje corta la parábola se llama vértice. Este punto, dependiendo de la función, coincide con el máximo o el mínimo de la misma.

Ø  Análisis de la expresión analítica

Cuando el coeficiente principal tiene valor positivo,la parábola tiene concavidad positiva.

Cuando el coeficiente principal tiene valor negativo,la parábola tiene concavidad negativa.

Cuanto más grande sea el coeficiente principal  positivo, la parábola se acerca más a eje Y. 

De la mismas manera,cuanto más chico sea el valor del coeficiente principal positivo, la parábola se acerca más al eje X.

Teniendo en cuenta la siguiente expresión analítica se pueden sacar ciertas conclusiones:

f(x) =(x-h)^2

Si h es negativo, la gráfica se trasladara hacia la derecha. La misma se desplazará h unidades, desde el origen de los ejes, siendo -x el valor del coeficiente. 

Si h es positivo,  la gráfica se  trasladara hacia la izquierda. La misma se desplazará -h 

unidades, desde el origen de los ejes, siendo x el valor del coeficiente.

  

   Máximo y mínimo

            -La abscisa  del mínimo, coincidirá con la raíz de la función.  

      

           -La ordenada del mínimo será siempre el opuesto a h, por lo tanto, la raíz también. 

      

          - Cuando la función tiene concavidad positiva, no tiene máximo.

          - Cuando la función tiene concavidad negativa, no tiene mínimo 

               

       

        Considerando la siguiente expresión analítica se pueden obtener ciertas conclusiones:

f(x) =(x-h)^2 + k

     

              - La coordenada x del vértice, coincidirá  h, mientras que la coordenada y del vértice será igual a k. 

             -El valor de k indicará cuántas unidades se desplazará la función sobre el eje y

                              - Si k es mayor a 0, la función no tendrá raíz/ raíces. 

                             -Si k=0, la función tiene una sola raíz (raíz doble)

                      

  
   












 


     Ø  Ejercicio

       Para evaluar la necesidad de semáforos en un cruce de calles se colocó un contador de autos.

    

      Los resultados del estudio pueden expresarse con la siguiente función cuadrática:

     

F (x) = - (x-6) ^2+16

      Siendo x las horas del día y f(x) la cantidad de autos:

1.   ¿A alguna hora no pasa ningún auto? ¿A qué concepto matemático trabajado corresponde? Justifica tu respuesta.

2.   ¿A qué hora pasa la máxima cantidad de autos? ¿A qué concepto matemático trabajo corresponde? Justifica tu respuesta.

3.   ¿Cuántos autos pasan a la hora cero? Matemáticamente esto significaría hallar la ordenada en el origen. Esta función solo tiene sentido entre los valores entre las raíces

4.   ¿Para qué valores de x esta función tiene sentido? Ten en cuenta el concepto de dominio.

5.   ¿Entre qué valores varía la cantidad de autos que pasan por este cruce? Ten en cuenta el concepto de recorrido.

6.   Grafica  y pinta la parte de la gráfica con sentido práctico.

 ¡A VERIFICAR!

1.

-(x-6)^2 + 16= 0

-(x-6)^2 =-16

x-6 =√16

√16= 4; -4

x-6= 4

x=10

x-6= -4

x= 2

El concepto matemático hace referencia a la raíz ya que se debe igualar la función a 0. F(x) representa la cantidad de autos. El problema pide ver a qué horas no pasa ningún auto, es decir 0 autos.

2.

V (6; 16)

La máxima cantidad de autos es 16, ya que el eje y representa la cantidad de autos, la máxima cantidad de autos pasa a las 6hs ya que el eje x representa las horas del día. Las coordenadas del vértice indican la cantidad máxima de autos (eje y) y a qué hora pasan (eje x), de modo que la función tenga sentido, es decir entre los valores que son raíces (10, 2)

3.

F(0) = -(0-6)^2 + 16 = - 20

o.o = -20

Sustituimos la x por cero ya que el eje x representa la cantidad de horas y el problema pide cuántos autos pasan a la hora cero, entonces averiguamos que número le corresponde en el eje y, en el eje x.

4.

Esta función tiene sentido para los valores que están entre las raíces, para los demás valores los correspondientes son negativos y no tiene sentido que a una determinada hora pase una cantidad negativa de autos

5.

R(f) = [0, 16]

6.

Ø Ejercicio

Una señora abrió un local hace pocos meses, quiere saber cómo va el negocio y para eso necesita averiguar algunos aspectos. Para averiguar dichos aspectos realizó un estudio, los resultados de ese estudio se pueden expresar con la siguiente función cuadrática:

F(x)= -(x-14) ^2 + 36

Representando el eje Y, la cantidad de gente y el eje X el tiempo, averigua lo siguiente:

1.   ¿En algún momento no hay nadie en el local? De esta forma la señora podrá hacer alguna promoción para atraer más gente en ese horario. Matemáticamente esto significaría hallar las raíces.

2.   ¿Cuánta gente hay en el local a la hora cero? Como la señora no siempre puede estar en el local en este horario, quiere saber si hay muchos clientes en este momento. Matemáticamente esto sería hallar la ordenada en el origen.

3.   ¿En qué momento está la cantidad máxima de clientes? A la señora le interesa saber cuándo hay más cantidad de clientes. Matemáticamente esto sería hallar las coordenadas del vértice de la parábola.

4.   Grafica ubicando todo lo requerido y hallado anteriormente.

5.   En caso de que el horario de atención fuera de 8.00 a 20.00 hs. ¿Cuál de los aspectos estudiados anteriormente no tendría sentido? ¿Por qué?

¡A VERIFICAR!

1.

-(x-14) ^2 + 36 = 0
- (x-14) ^2 = -36
(x-14) = √36
√36 = 6; -6

x- 14= 6
x= 14 + 6
x = 20

x-14 = -6
x = -6 + 14
x = 8

2.

F (0) = -(0 – 14) ^2 + 36 = -160

3.

V (14; 36)

4.

5.

La ordenada en el origen no tendría sentido ya que a la hora cero el local no está abierto, tampoco tendría sentido decir que a una hora hay -160 personas, el número de personas siempre debe ser positivo.

Ø  Ejercicio

¿Qué datos obtienes de las siguientes funciones a través de sus expresiones analíticas? sin graficar.

o   f(x) =(2x-3)^2 + 10

o   f(x) =(5x+ 7)^2

o   -f(x)= (4x)^2 + 3/2

o   f(x) =(2x-√5)^2 + 3

o   f(x) =(2x-5)^2 + √3

Ø  Ejercicio

Se realizó un estudio con el fin de averiguar si era productivo colocar un panel solar en una determinada ubicación, durante la época de verano.  Para ello se decidió tomar la temperatura durante todas las horas del día.

La relación que se establece entre la hora del día y la temperatura es la siguiente:

t(x)= -3/4 (x-12) ^2

Donde t es la temperatura en grados Celsius y x es la hora del día.

1.   ¿Qué variación de temperatura se encontraba entre las 8 y las 10 de la mañana

2.   ¿Cuándo la temperatura fue de 0 grados Celsius?

3.   ¿Cuál fue la temperatura al finalizar el día?

4.   Determina cuál fue la temperatura máxima y en qué momento del día se obtuvo dicha temperatura.

5.   ¿A qué concepto estudiado hacen referencia las dos últimas preguntas? Explica.